50 Soal Trigonometri dan Pembahasan Lengkap

Trigonometri adalah cabang matematika yang mempelajari hubungan antara sudut dan panjang sisi dalam segitiga. Konsep ini sangat penting dalam berbagai bidang seperti fisika, teknik, astronomi, dan bahkan dalam kehidupan sehari-hari.

Dalam artikel ini, terdapat 50 soal trigonometri beserta pembahasannya. Diharapkan artikel ini bisa membantu kamu memahami trigonometri dengan lebih baik dan meningkatkan keterampilan dalam menyelesaikan soal-soal terkait.

50 Soal Trigonometri dan Pembahasan

SOAL & PEMBAHASAN TRIGONOMETRI BAGIAN I

1. Tentukan nilai sin 30°.

Pembahasan:

• Nilai sin 30° merupakan salah satu nilai sudut istimewa
• sin 30° = 1/2
• Jadi, nilai sin 30° = 0,5

2. Jika cos α = 3/5 dan α adalah sudut di kuadran I, tentukan nilai sin α.

Pembahasan:

• Di kuadran I, sin α bernilai positif
• Menggunakan identitas trigonometri: sin²α + cos²α = 1
• sin²α + (3/5)² = 1
• sin²α + 9/25 = 1
• sin²α = 1 - 9/25 = 16/25
• sin α = 4/5 (diambil positif karena di kuadran I)

3. Hitunglah nilai dari tan 45° + cos 60°.

Pembahasan:

• tan 45° = 1
• cos 60° = 1/2
• tan 45° + cos 60° = 1 + 1/2 = 3/2 = 1,5

4. Tentukan nilai sin(-30°).

Pembahasan:

• sin(-θ) = -sin θ
• sin(-30°) = -(sin 30°)
• sin(-30°) = -(1/2)
• sin(-30°) = -0,5

5. Jika tan α = 4/3 dan α adalah sudut di kuadran I, tentukan nilai cos α.

Pembahasan:

• tan α = sin α / cos α = 4/3
• Menggunakan identitas sin²α + cos²α = 1
• Misalkan cos α = x
• Karena tan α = 4/3, maka sin α = 4x/3
• (4x/3)² + x² = 1
• 16x²/9 + x² = 1
• (16x² + 9x²)/9 = 1
• 25x²/9 = 1
• x² = 9/25
• cos α = 3/5 (diambil positif karena di kuadran I)

6. Buktikan bahwa sin²θ + cos²θ = 1.

Pembahasan:

• Dalam segitiga siku-siku dengan hipotenusa r:
• sin θ = y/r
• cos θ = x/r
• sin²θ + cos²θ = (y/r)² + (x/r)² = (y² + x²)/r²
• Berdasarkan teorema Pythagoras: x² + y² = r²
• Maka (y² + x²)/r² = r²/r² = 1
• Terbukti bahwa sin²θ + cos²θ = 1

7. Hitunglah nilai dari sin 90° cos 0° - cos 90° sin 0°.

Pembahasan:

• Menggunakan rumus sin(A-B) = sin A cos B - cos A sin B
• sin 90° = 1
• cos 0° = 1
• cos 90° = 0
• sin 0° = 0
• sin 90° cos 0° - cos 90° sin 0° = (1)(1) - (0)(0) = 1

8. Jika sin α = 5/13 dan α adalah sudut di kuadran II, tentukan nilai cos α.

Pembahasan:

• Di kuadran II, cos α bernilai negatif
• Menggunakan identitas sin²α + cos²α = 1
• (5/13)² + cos²α = 1
• 25/169 + cos²α = 1
• cos²α = 1 - 25/169 = 144/169
• cos α = -12/13 (negatif karena di kuadran II)

9. Tentukan nilai csc 30°.

Pembahasan:

• csc θ = 1/sin θ
• sin 30° = 1/2
• csc 30° = 1/(1/2) = 2

10. Hitunglah nilai dari sec 60°.

Pembahasan:

• sec θ = 1/cos θ
• cos 60° = 1/2
• sec 60° = 1/(1/2) = 2

11. Jika cos α = -4/5 dan α adalah sudut di kuadran II, tentukan nilai tan α.

Pembahasan:

• Di kuadran II, sin α bernilai positif dan cos α negatif
• Menggunakan identitas sin²α + cos²α = 1
• sin²α + (-4/5)² = 1
• sin²α + 16/25 = 1
• sin²α = 9/25
• sin α = 3/5 (positif karena di kuadran II)
• tan α = sin α / cos α = (3/5) / (-4/5) = -3/4

12. Hitunglah nilai dari sin 60° + cos 30°.

Pembahasan:

• sin 60° = √3/2
• cos 30° = √3/2
• sin 60° + cos 30° = √3/2 + √3/2 = √3

13. Tentukan nilai dari cot 45°.

Pembahasan:

• cot θ = cos θ / sin θ
• Pada sudut 45°, sin 45° = cos 45° = 1/√2
• cot 45° = (1/√2)/(1/√2) = 1

14. Jika sin α = 12/13 dan α adalah sudut di kuadran I, tentukan nilai semua perbandingan trigonometri lainnya.

Pembahasan:

• sin α = 12/13
• Menggunakan identitas sin²α + cos²α = 1
• (12/13)² + cos²α = 1
• 144/169 + cos²α = 1
• cos²α = 25/169
• cos α = 5/13 (positif karena di kuadran I)
• tan α = sin α / cos α = (12/13)/(5/13) = 12/5
• csc α = 1/sin α = 13/12
• sec α = 1/cos α = 13/5
• cot α = cos α / sin α = 5/12

15. Buktikan bahwa 1 + tan²θ = sec²θ.

Pembahasan:

• sec²θ = 1/cos²θ
• tan²θ = sin²θ/cos²θ
• 1 + tan²θ = 1 + sin²θ/cos²θ
• = cos²θ/cos²θ + sin²θ/cos²θ
• = (cos²θ + sin²θ)/cos²θ
• = 1/cos²θ (karena sin²θ + cos²θ = 1)
• = sec²θ
• Terbukti bahwa 1 + tan²θ = sec²θ

16. Hitunglah nilai dari sin(-60°).

Pembahasan:

• sin(-θ) = -sin θ
• sin 60° = √3/2
• sin(-60°) = -(√3/2)

17. Jika cos α = -3/5 dan α adalah sudut di kuadran III, tentukan nilai sin α.

Pembahasan:

• Di kuadran III, sin α bernilai negatif
• Menggunakan identitas sin²α + cos²α = 1
• sin²α + (-3/5)² = 1
• sin²α + 9/25 = 1
• sin²α = 16/25
• sin α = -4/5 (negatif karena di kuadran III)

18. Tentukan nilai dari cos(360° + 30°).

Pembahasan:

• cos(360° + θ) = cos θ
• cos(360° + 30°) = cos 30°
• cos 30° = √3/2

19. Hitunglah nilai dari sin 30° cos 60° + cos 30° sin 60°.

Pembahasan:

• Menggunakan rumus sin(A+B) = sin A cos B + cos A sin B
• sin 30° = 1/2
• cos 60° = 1/2
• cos 30° = √3/2
• sin 60° = √3/2
• sin 30° cos 60° + cos 30° sin 60° = (1/2)(1/2) + (√3/2)(√3/2)
• = 1/4 + 3/4
• = 1
• = sin 90°

20. Jika tan α = -3/4 dan α adalah sudut di kuadran III, tentukan nilai cos α.

Pembahasan:

• Di kuadran III, sin α dan cos α bernilai negatif
• tan α = sin α / cos α = -3/4
• Misalkan cos α = -k (k positif)
• sin α = 3k
• Menggunakan identitas sin²α + cos²α = 1
• (3k)² + (-k)² = 1
• 9k² + k² = 1
• 10k² = 1
• k = √(1/10)
• cos α = -√(1/10)

21. Buktikan bahwa (1 - cos θ)(1 + cos θ) = sin²θ.

Pembahasan:

• (1 - cos θ)(1 + cos θ)
• = 1 + cos θ - cos θ - cos²θ
• = 1 - cos²θ
• = sin²θ (karena sin²θ + cos²θ = 1)
• Terbukti bahwa (1 - cos θ)(1 + cos θ) = sin²θ

22. Hitunglah nilai dari cos(-45°).

Pembahasan:

• cos(-θ) = cos θ
• cos(-45°) = cos 45°
• cos 45° = 1/√2

23. Tentukan nilai dari sin²45° + cos²45°.

Pembahasan:

• sin 45° = 1/√2
• cos 45° = 1/√2
• sin²45° + cos²45° = (1/√2)² + (1/√2)²
• = 1/2 + 1/2
• = 1

24. Jika sin α = 5/13 dan cos α = -12/13, tentukan nilai tan α.

Pembahasan:

• tan α = sin α / cos α
• tan α = (5/13) / (-12/13)
• tan α = -5/12

25. Buktikan bahwa csc²θ - cot²θ = 1.

Pembahasan:

• csc²θ = 1/sin²θ
• cot²θ = cos²θ/sin²θ
• csc²θ - cot²θ = 1/sin²θ - cos²θ/sin²θ
• = (1 - cos²θ)/sin²θ
• = sin²θ/sin²θ (karena 1 - cos²θ = sin²θ)
• = 1
• Terbukti bahwa csc²θ - cot²θ = 1

SOAL & PEMBAHASAN TRIGONOMETRI BAGIAN II

I. Identitas Trigonometri dan Perbandingan Trigonometri

1. Jika $\sin A=\frac{3}{5}$, tentukan $\cos A$ dan $\tan A$.
Jawaban:

• Dari identitas Pythagoras: $${\sin }^{2}A+{\cos }^{2}A=1$$ $${\left(\frac{3}{5}\right)}^2+{\cos }^{2}A=1$$ $$\frac{9}{25}+{\cos }^{2}A=1$$ $${\cos }^{2}A=\frac{16}{25}$$ $$\cos A=\pm \frac{4}{5}$$
• Jika $A$ di kuadran I atau IV, $\cos A$ positif: $\cos A=\frac{4}{5}$
• Jika di kuadran II atau III, $\cos A$ negatif: $\cos A=-\frac{4}{5}$
• $\tan A=\frac{\sin A}{\cos A}=\frac{3\mathrm{/}5}{4\mathrm{/}5}=\frac{3}{4}$

2. Jika $\cos B=-\frac{5}{13}$ dan $B$ berada di kuadran II, tentukan $\sin B$ dan $\tan B$.
Jawaban:

• Gunakan identitas Pythagoras: $${\sin }^{2}B+{\cos }^{2}B=1$$ $${\sin }^{2}B+{(-\frac{5}{13})}^2=1$$ $${\sin }^{2}B+\frac{25}{169}=1$$ $${\sin }^{2}B=\frac{144}{169}$$ $$\sin B=\pm \frac{12}{13}$$
• Karena $B$ di kuadran II, $\sin B$ positif: $\sin B=\frac{12}{13}$
• tan⁡B=sin⁡Bcos⁡B=12/13−5/13=−125

3. Tentukan nilai $\sin 45^{\circ }\cos 45^{\circ }+\cos 45^{\circ }\sin 45^{\circ }$.
Jawaban:

• Gunakan identitas sudut jumlah: $$\sin A\cos B+\cos A\sin B=\sin (A+B)$$ $$\sin 45^{\circ }\cos 45^{\circ }+\cos 45^{\circ }\sin 45^{\circ }=\sin (45^{\circ }+45^{\circ })=\sin 90^{\circ }=1$$

II. Persamaan Trigonometri

4. Tentukan solusi $\sin x=\frac{1}{2}$ untuk $0^{\circ }\le x\le 360^{\circ }$.
Jawaban:

• $\sin x=\frac{1}{2}$ terjadi pada: $$x=30^{\circ }\text{ dan }x=180^{\circ }-30^{\circ }=150^{\circ }$$
• Jadi, $x=30^{\circ },150^{\circ }$.

$\mathrm{5.\; Tentukan\; solusi\; tan}x=-1$ untuk $0^{\circ }\le x\le 360^{\circ }$.
Jawaban:

• $\tan x=-1$ terjadi pada kuadran II dan IV: $$x=135^{\circ },315^{\circ }$$
• Jadi, $x=135^{\circ },315^{\circ }$.

III. Grafik Fungsi Trigonometri

6. Tentukan periode dari fungsi $f(x)=2\sin (3x)$.
Jawaban:

• Periode umum fungsi sinus adalah $\frac{2\pi }{k}$, dengan $k=3$: $$P=\frac{2\pi }{3}$$

7. Tentukan amplitudo dan periode dari $g(x)=-4\cos (2x)$.
Jawaban:

• Amplitudo $=\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }=\mathrm{\mid }-4\mathrm{\mid }=4$
• Periode $P=\frac{2\pi }{2}=\pi$

IV. Aturan Sinus dan Cosinus

8. Diketahui segitiga dengan panjang sisi $a=8$, $b=6$, dan sudut $C=60^{\circ }$. Tentukan panjang sisi $c$ menggunakan aturan cosinus.
Jawaban:

• Aturan cosinus: $$c^2=a^2+b^2-2ab\cos C$$ $$c^2=8^2+6^2-2(8)(6)\cos 60^{\circ }$$ $$c^2=64+36-96(0.5)$$ $$c^2=64+36-48=52$$ $$c=\sqrt{52}=2\sqrt{13}$$

9. Diketahui segitiga dengan $\mathrm{\angle }A=40^{\circ }$, $\mathrm{\angle }B=55^{\circ }$, dan sisi $a=10$. Tentukan sisi $b$ dengan aturan sinus.
Jawaban:

• Gunakan aturan sinus: $$\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}$$ $$\frac{10}{\sin 40^{\circ }}=\frac{b}{\sin 55^{\circ }}$$
• Gunakan kalkulator: $$b=\frac{10\sin 55^{\circ }}{\sin 40^{\circ }}$$ $$b\approx \frac{10(0.8192)}{0.6428}$$ $$b\approx 12.74$$

V. Soal Cerita Trigonometri

10. Sebuah menara memiliki tinggi 50 m. Dari titik A di tanah sejauh $x$ m dari kaki menara, sudut elevasi ke puncak menara adalah $30^{\circ }$. Tentukan $x$.
Jawaban:

• Gunakan $\tan \theta = \frac{\text{tinggi}}{\text{jarak}}$: $$\tan 30^\circ = \frac{50}{x}$$ $$x = \frac{50}{\tan 30^\circ}$$
• tan⁡30∘=13
$$x = \frac{50\sqrt{3}}{1}$$ $$x \approx 86.6 \text{ m}$$

VI. Identitas Trigonometri Lanjutan

11. Buktikan bahwa $\frac{1-\cos 2x}{\sin 2x}=\tan x$.
Jawaban:

• Gunakan identitas $\cos 2x=1-2{\sin }^{2}x$ dan $\sin 2x=2\sin x\cos x$: $$\frac{1-\cos 2x}{\sin 2x}=\frac{1-(1-2{\sin }^{2}x)}{2\sin x\cos x}$$ $$=\frac{2{\sin }^{2}x}{2\sin x\cos x}$$ $$=\frac{\sin x}{\cos x}=\tan x$$ ✅ Terbukti.

${\mathrm{12.\; Buktikan\; bahwa\; sin}}^{4}A-{\cos }^{4}A={\sin }^{2}A-{\cos }^{2}A$.
Jawaban:

• Gunakan pemfaktoran $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$: $${\sin }^{4}A-{\cos }^{4}A=({\sin }^{2}A-{\cos }^{2}A)({\sin }^{2}A+{\cos }^{2}A)$$
• Karena ${\sin }^{2}A+{\cos }^{2}A=1$, maka: $$({\sin }^{2}A-{\cos }^{2}A)(1)={\sin }^{2}A-{\cos }^{2}A$$
✅ Terbukti.

VII. Persamaan Trigonometri Lanjutan

13. Tentukan semua solusi dari $\cos 2x=0$ untuk $0^{\circ }\le x\le 360^{\circ }$.
Jawaban:

• $\cos 2x=0$ terjadi pada: $$2x=90^{\circ }+180^{\circ }k$$
• Untuk $0^{\circ }\le x\le 360^{\circ }$: $$x=\frac{90^{\circ }}{2}+\frac{180^{\circ }k}{2}$$ $$x=45^{\circ }+90^{\circ }k$$
• Nilai $x$ dalam rentang: $$x=45^{\circ },135^{\circ },225^{\circ },315^{\circ }$$

14. Tentukan solusi dari $2\sin x-1=0$ untuk $0^{\circ }\le x\le 360^{\circ }$.
Jawaban:

• Ubah ke bentuk dasar: $$\sin x=\frac{1}{2}$$
• Nilai ini terjadi pada: $$x=30^{\circ },150^{\circ }$$

VIII. Fungsi Trigonometri Lanjutan

15. Tentukan periode dari fungsi $f(x)=\sin \left(\frac{x}{2}\right)$.
Jawaban:

• Periode sinus: $$P=\frac{2\pi }{k}=\frac{2\pi }{1\mathrm{/}2}=4\pi$$

$\mathrm{16.\; Tentukan\; nilai\; maksimum\; dan\; minimum\; dari\; g}(x)=3\cos x-2$.
Jawaban:

• Nilai maksimum fungsi $3\cos x$ adalah $3(1)-2=1$.
• Nilai minimum fungsi $3\cos x$ adalah $3(-1)-2=-5$.

IX. Aturan Sinus dan Cosinus Lanjutan

17. Sebuah segitiga memiliki sisi $a=7$, $b=9$, dan sudut $C=120^{\circ }$. Tentukan panjang sisi $c$.
Jawaban:

• Gunakan aturan cosinus: $$c^2=a^2+b^2-2ab\cos C$$ $$c^2=7^2+9^2-2(7)(9)\cos 120^{\circ }$$
• Karena $\cos 120^{\circ }=-\frac{1}{2}$: $$c^2=49+81+63$$ $$c^2=193$$ $$c=\sqrt{193}$$

$\mathrm{18.\; Diketahui\; △}ABC$ dengan $\mathrm{\angle }A=50^{\circ }$, $\mathrm{\angle }B=60^{\circ }$, dan $a=10$. Tentukan panjang sisi $b$.
Jawaban:

• Gunakan aturan sinus: $$\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}$$ $$\frac{10}{\sin 50^{\circ }}=\frac{b}{\sin 60^{\circ }}$$
• Hitung $b$: $$b=\frac{10\sin 60^{\circ }}{\sin 50^{\circ }}$$

X. Soal Cerita Trigonometri Lanjutan

19. Sebuah pesawat terbang dengan sudut elevasi 40° dari titik A di tanah. Jika jarak pesawat dari titik A adalah 500 m, tentukan ketinggian pesawat.
Jawaban:

• Gunakan $\sin \theta =\frac{\text{ketinggian}}{\text{jarak}}$: $$h=500\sin 40^{\circ }$$

20. Sebuah menara memiliki tinggi 80 m. Sudut depresi dari puncak menara ke titik B di tanah adalah 30°. Tentukan jarak horizontal titik B ke kaki menara.
Jawaban:

• Gunakan $\tan 30^{\circ }=\frac{\text{tinggi}}{\text{jarak}}$: $$d=\frac{80}{\tan 30^{\circ }}$$

XI. Soal Campuran Trigonometri

21. Tentukan $\sin 75^{\circ }$ menggunakan sudut jumlah.
Jawaban:

• Gunakan $\sin (A+B)=\sin A\cos B+\cos A\sin B$ dengan $A=45^{\circ }$ dan $B=30^{\circ }$: $$\sin 75^{\circ }=\sin 45^{\circ }\cos 30^{\circ }+\cos 45^{\circ }\sin 30^{\circ }$$

22. Buktikan bahwa $\tan 2A=\frac{2\tan A}{1-{\tan }^{2}A}$.
Jawaban:

• Gunakan identitas: $$\tan (A+B)=\frac{\tan A+\tan B}{1-\tan A\tan B}$$
• Dengan $B=A$: $$\tan 2A=\frac{2\tan A}{1-{\tan }^{2}A}$$

XII. Soal Lanjutan Trigonometri

23. Buktikan bahwa $1 + \tan^2 x = \sec^2 x$.
Jawaban:

• Dari identitas dasar: $$\sin^2 x + \cos^2 x = 1$$
• Bagi kedua sisi dengan $\cos^2 x$: $$\frac{\sin^2 x}{\cos^2 x} + \frac{\cos^2 x}{\cos^2 x} = \frac{1}{\cos^2 x}$$ $$\tan^2 x + 1 = \sec^2 x$$ ✅ Terbukti.

24. Tentukan nilai dari $\cos 15^\circ$ menggunakan sudut selisih.
Jawaban:

• Gunakan identitas $\cos(A - B) = \cos A \cos B + \sin A \sin B$ dengan $A = 45^\circ$ dan $B = 30^\circ$: $$\cos 15^\circ = \cos 45^\circ \cos 30^\circ + \sin 45^\circ \sin 30^\circ$$
• Substitusi nilai: $$\cos 15^\circ = \left(\frac{\sqrt{2}}{2} \times \frac{\sqrt{3}}{2}\right) + \left(\frac{\sqrt{2}}{2} \times \frac{1}{2}\right)$$ $$= \frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{4}$$ $$= \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$$

25. Jika $\sin A = \frac{3}{5}$ dan $A$ di kuadran I, tentukan nilai $\cos A$ dan $\tan A$.
Jawaban:

• Gunakan identitas $\sin^2 A + \cos^2 A = 1$: $$\left(\frac{3}{5}\right)^2 + \cos^2 A = 1$$ $$\frac{9}{25} + \cos^2 A = 1$$ $$\cos^2 A = \frac{16}{25}$$ $$\cos A = \frac{4}{5} \quad (\text{karena kuadran I, nilai positif})$$
• Nilai $\tan A$: $$\tan A=\frac{\sin A}{\cos A}=\frac{3\mathrm{/}5}{4\mathrm{/}5}=\frac{3}{4}$$

Melalui 50 soal dan pembahasan lengkap di atas, diharapkan kamu semakin memahami konsep-konsep penting dalam trigonometri dan lebih percaya diri dalam menyelesaikan soal.

Jangan ragu untuk terus berlatih dan eksplorasi lebih banyak soal. Selamat belajar dan semoga sukses! 🚀🎯  

Berbagi :